Das Gaußsche Eliminationsverfahren

Betrachtet wird ein eindeutig bestimmtes lineares Gleichungssystem (LGS), d.h. ein LGS bestehend aus ebenso vielen Gleichungen wie Variablen. Die Anzahl wird im Folgenden mit n bezeichnet. Solche Gleichungssysteme haben in der Regel genau eine Lösung (bestehend aus einem Tupel der Variablen) oder aber gar keine Lösung.

Um die erste Variable x1 zu eliminieren bleibt die erste Gleichung erhalten. Anschließend wird die erste Gleichung einzeln mit einem Vielfachen der nachfolgenden Gleichungen addiert. Das Vielfache wird dabei so gewählt, dass x1 bei der Addition eliminiert wird. Das nun vorliegende LGS besteht aus einer Gleichung mit n Variablen und n-1 Gleichungen, in der die Variable x1 eliminiert ist.

Das gerade beschriebene Verfahren wird nun auf jene n-1 Gleichungen angewendet. In jedem Schritt wird dabei eine weitere Variable von x2 bis xn eliminiert. Somit steht am Ende eine Gleichung mit einer Variablen. Damit lässt sich xn ermitteln.

Anmerkung: Im günstigsten Fall erhält man eine typische “Treppenform” der Gleichungen. Abweichungen können entstehen, falls:

  • Zeilen vertauscht werden,
  • Variablen innerhalb eines Terms vertauscht werden,
  • Gleichungen erweitert oder gekürzt werden.

Diese Rechenoperationen sind legitim und können unter Umständen die Rechnung vereinfachen.

Durch Einsetzen der Variablen xn in die n-1. Gleichung lässt sich nun die Variable xn-1 ermitteln. Die jeweils bekannten Werte werden auf diese Weise von unten nach oben eingesetzt bis alle Variablen ermittelt sind.

Beispiel (drei Gleichungen, drei Variablen):

Ia 6x 3y 8z = 39
IIa 4x + 5y 12z = 13
IIIa x + y 2z = 6
Ib 6x 3y 8z = 39
IIb 21y + 20z = 39 IIb = 2•Ia – 3•IIa
IIIb 9y + 4z = 3 IIIb = 1•Ia – 6•IIa
Ic 6x 3y 8z = 39
IIc 21y + 20z = 39
IIIc 32z = 96 IIIc = 3•IIb – 7•IIIb
z = 3
y = 1 z in IIc
x = 11 z und y in Ic